مسئله ی هفته: اندازه ی دقیق اضلاع و محیط یک مثلث

در شکل زیر ارتفاع، نیمساز و میانه ی صادر شده از یک راس مثلث داده شده است، اندازه ی دقیق اضلاع مثلث و در نهایت اندازه ی دقیق محیط آنرا در ساده ترین شکل خود محاسبه کنید.  

مسئله را در حالت کلی هم حل نمایید، یعنی با داشتن ارتفاع، نیمساز و میانه، فرمولی پیدا کنید در ساده ترین شکل خود که محیط مثلث را بر حسب این سه کمیت به دست دهد:

هندسه های نااقلیدسی

الف) مقدمه

«هندسه بهترین و ساده ترین منطق ها و مناسب ترین طریق پایدار ساختن اندیشه هاست.» «دکتر فضل الله رضا»

علم هندسه مانند همه ی علوم دیگر از مشاهده و تجربه ناشی شده و ارتباط جدی با احتیاجات اقتصادی بشر دارد. کلمه ی «هندسه» یک کلمه ی یونانی و به معنی مساحی(اندازه ی زمین) است. هندسه و مفاهیم آن از طرفی زاییده ی تجربه و احتیاج بشرند و از طرف دیگر درستی آن باز هم در صحنه ی علوم علمی مورد آزمایش و استفاده قرار می گیرد.
باور مردم از زمان یونانیان باستان تا قرن نوزدهم این بود که هندسه ی اقلیدسی، حقیقت محض و بی کاستی است که فضای مادی را بطور کامل توجیه می کند. حتی کانت اعتقاد داشت که هندسه ی اقلیدسی، ذاتی ساختار ذهن انسان است…اما هندسه دانهای قرن نوزدهم نشان دادند که اولا هندسه ی اقلیدسی تنها هندسه ی ممکن نیست، ثانیا این که هندسه فضای مادی اقلیدسی یا نا اقلیدسی است، امری تجربی است که خارج از حیطه ی ریاضیات محض می باشد و ثالثا هندسه ی اقلیدسی سازگارتر است، اگر و فقط اگر هندسه ی نااقلیدسی سازگار باشد یعنی این دو هندسه به بیانی نادقیق«به یک نسبت درستند.»

ب) تاریخچه ی پیدایش هندسه ی نااقلیدسی

در حدود سیصد سال قبل از میلاد، اقلیدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته ی تحریر در آورد، او بر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادی اصطلاح اولیه تمام هندسه ی شناخته شده تا زمان خود را بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعی در کتابش ذکر کرد. یکی از اصل های اقلیدس که بیشتر از همه توجه ریاضیدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم این کتاب بود. اقلیدس این اصل را که به «اصل توازی» معروف شده است این طور بیان می دارد:
«اگر خطی دو خط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همدیگر را در همان طرف قطع می کنند.»
که بعدها معادل آن یعنی:«از هر نقطه خارج یک خط راست، تنها یک خط راست موازی با آن خط و در همان صفحه ی مفروض میتوان رسم کرد.» تنظیم شد. تلاش برای اثبات این اصل براساس چهار اصل دیگربه بیش از بیست قرن انجامید و در این مدت بنظر می رسید که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع از همان زمان که کتاب مقدمات اقلیدس نوشته شد، بحث و تفسیر درباره ی آن آغاز گشت، این بحث ها از دو جهت بود:
۱) برطرف کردن ابهام هایی که در«تعریف ها»، «اصل ها» و «قضیه ها» وجود داشت.
۲) بحث درباره ی اصل توازی.
اما با وجود اینکه دانشمندان برای اثبات دقیق این اصل با عدم موفقیت های فراوان مواجه شده بودند، باز هم دست از کوشش بر نداشتند دلیل آن این بود که علمای هندسه اعتقاد داشتند که بدون روشن کردن موقعیت این اصل نمی توان ساختمان هندسه را بطور دقیق و کامل انجام داد، این تلاش ها سرانجام به کشف هندسه های نااقلیدسی منجر شد.
می گویند اولین کسی که به استقلال اصل پنجم یا به گفته ی کایزر «مشهورترین تک سخن در تاریخ علم» شک کرد، خود اقلیدس بود. بعد از او بطلمیوس (حدود ۱۵۰ سال پیش از میلاد) برای اثبات آن برخاست. پرودوکلوس نیز در قرن پنجم شرحی بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباه برهان های قبلی، تلاش کرد تا اثباتی در این زمینه ارائه کند.
بعد از آن شاهد اثبات های دیگری بودیم که هیچ یک به نتیجه ی مطلوب نرسیدند. از جمله دانشمندان ایرانی که برای اثبات این اصل تلاش کرد میتوان به خیام، خواجه نصیر الدین طوسی، نیریزی و ابن هیثم اشاره نمود.
خیام در مقاله ی اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»
به مساله ی اصل توازی پرداخت. او میگوید:«اشتباه دانشمندان سابق در این است که بنیان های فلسفی را در نظر نمی گیرند…». او که سخت طرفدار عقاید کانت بود منظور از عقاید فلسفی را همان عقاید کانت میداند و بدان اشاره می کند.
دانشمندان اروپایی نیز برای اثبات این اصل تلاش های در خور توجهی کردند کسانی همانند: جان والیس و جیرولاموساکری.
ساکری در ۱۶۹۷ کتابی با عنوان «اقلیدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن برای اثبات اصل پنجم که بیشتر به یک قضیه شبیه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعی کرد تا به تناقض برسد، اما در واقع او هرگز به تناقضی نرسید. شاید اگر ساکری میدانست که به این دلیل ساده به تناقض نمی سد که اصلا تناقضی در کار نیست، کشف هندسه های اقلیدسی نزدیک به یک قرن زودتر صورت می پذیرفت.
اندکی بعد و در قرن ۱۸ و در آلمان لامبرت مانند ساکری با استفاده از برهان خلف سعی کرد اصل توازی را اثبات کند اما او نیز به تناقضی نرسید و در رده ی اثبات کننده گان ناکام این اصل قرار گرفت. چنین می نماید که وی دریافته بود که دلایل علیه بیشتر پی آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود این دلایل از نوعی بودند که بایستی به یکباره از عرصه ی هندسه و نیز از میدان هر علمی بیرون رانده شود.
پژوهش های او درباره ی نظریه ی توازی بوسیله ی رساله ای از آدرین لژاندر طی سال ها کار روی اصل توازی، به مجموعه ای از اثبات های اشتباه دست یافت که از آن ها در کلاس هندسه اش استفاده میکرد اما دو گزاره ی مهم که لژاندر ثابت کرد پایه گذار «هندسه ی مطلق» (یعنی هندسه ی مبتنی بر چهار اصل اول) بود.
اصل توازی آن چنان ذهن او را به خود معطوف داشته بود که طی ۲۹ سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن ارج نمود.

درواقع ابتدايي‌ترين ايجاد اين نوار، انتخاب نوار مستطيل شكل، دراز و نرمي است كه آن را يكبار مي‌پيچانيم و بعد دو انتهاي آن را به هم متصل مي‌كنيم. سطحي كه بدين ترتيب به دست مي‌آيد نوار موبيوس ناميده مي‌شود.
اين سطح تنها يك رو دارد بدين معني كه به عنوان مثال يك صفحة كاغذي را مي‌توان با دو رنگ گوناگون در دو طرف آن، رنگ كرد اما نوار موبيوس را با اين روش، نمي‌توان با دو رنگ مختلف رنگ كرد. در صورت اقدام به چنين كاري، به همان جايي كه رنگ كردن را در ابتدا آغاز كرده‌ بوديم مي‌رسيم، در حالي كه در طرف ديگر نوار هستيم. پس نوار موبيوس، سطحي است كه يك رو دارد و حرکت ما روی آن تا بينهاِت بار تکرار مي شود.
تعريف خاص رياضي :دليل «يك رويه بودن» اين نوار، به شرح زير است كه : در هر نقطة a از نوار موبيوس، مي‌توان دو بردار با جهت‌ ‌هاي مختلف رسم كرد كه بر نوار موبيوس در اين نقطه عمود باشد.

اين بردارها را قائم‌هاي نوار موبيوس در نقطة a مي‌ناميم . يكي از اين بردارها را انتخاب و نقطة a را به تدريج روي نوار موبيوس، جابجا مي‌كنيم، در اين صورت بردار ما هم همراه با نقطه a جابجا مي‌شود . بنابراين، روي نوار موبيوس، چنان مسير بسته‌اي وجود دارد كه اگر قائمي اين مسير را روي سطح بپيمايد، به جاي اينكه به وضع نخستين خود برسد، روي برداري كه در جهت مخالف وضع نخستين آن است قرار مي‌گيرد.
خاصيت موبيوسي: خاصيتي است كه رابطه بين «درون» و «بيرون» را وارونه مي‌كند. يعني هر نقطه از يك سطح موبيوسي در عين حال كه درون است، بيرون نيز مي‌باشد، بنابراين در يك تغيير پيوسته نوعي دگرگوني در ماهيت يك فضا صورت مي‌گيرد.در واقع در اين حالت، فضا خاصيت دوگانه اما پيوسته پيدا مي‌كند.
"خاصيت موبيوس، كه گذر از درون به برون و از برون به درون را ممكن مي‌كند، كمابيش توانسته است بر فراز شكاف حاصل از ثنويت پلي بزند. "(شايگان، 1380)
بنابراين،فضای ِميان "برون و درون"، " پيوستگی" و " تکرار" با يك تعريف رياضي به يك سطح هندسي تبديل مي‌شود. سطحي كه بر آن در هر لحظة هم داخل و هم خارج فضا هستيم.

اين ويژگي در طراحي معماري مورد توجه قرار گرفته است.
فرشيد موسوي در پروژه‌اي به نام خانة مجازي (Virtual House) از خاصيت نوار موبيوس براي طراحي استفاده مي‌كند.او با اين ساختار، سطح توپولوژيكي به وجود مي‌آورد كه در آن هر اتاق با اتاق ديگر تركيب مي‌شود تا نواري دو طرفه و دو منظوره را درست كند. (تصوير5و 6)
در آن تضاد بين داخل/خارج، جلو/عقب، پائين/بالا و ديگر مفاهيم در يك سكونت گاه، مورد سؤال قرار مي‌گيرد وارتباطی خاص ميان اين مفاهيم به وجود مي‌آيد.
ساختار هندسي نوار موبيوس، "درون و بيرون" با "داخل و خارج" را تلفيق مي‌كند و فضاي سومي با كيفيتي جديد به وجود مي‌آورد.اين فضایِ سوم،فضايی است که "همزمانی"، "تبديل"، " تکرار" ...در ميان پديده ها در آن رخ می‌دهد.
اما بحث اصلی که اين نوشتار کوتاه تلاش داشت به آ ن اشاره کند، نحوه بروز مفاهيم در قالب فرم های ِ متنوع است.به اين معنی که چگونه يک "مفهوم"، يک "ويژگی" و يا يک " کيفيت" می‌تواند با فرم های ِ گوناگون ظاهر شود. در قالب يک "نمايش"، به صورت فرمول "ِرياضی"، در شکل ِ يک ترسيم "هندسی" و يا در فرم يک "اثر معماری".
بی شک ارتباط ميان اين فرم ها، در عين تنوع آن ها، اهميت ِ مطالعه و تأمل بر حرکت جريان های ِ هنری – به موازات هم _ را بيش از پيش آشکار می‌سازد.

منبع: هفته نامه نقش نو- ذوره جدید پیش‌ شماره 1- صفحه 15

شاید تا به حال اسم توپولوژی را شنیده باشید . به نظر اسم قلمبه سلمبه ای دارد و شاید فکر کنید موضوع خیلی پیشرفته ای باشد که از آن در کتاب های درسی دبیرستان موضوعی تدریس نمی شود . در واقع توپولوژی از شاخه های اصلی و گسترده ریاضیات می باشد و در طول سالها پیشرفت های زیادی کرده . اما اینگونه نیست که دانش آموزان از درک آن عاجز باشند . برعکس به دلیل داشتن ماهیت هندسی در خیلی از جاهای این علم تنها به کمی شهود نیازمندیم . توپولوزی در قسمت های مختلف ریاضیات مانند جبر ، آنالیز حقیقی و مختلط ، هندسه جبری و حتی ترکیبیات کاربرد های فراوان و عظیمی پیدا کرده به طوری که مطالعه ی هر یک از این شاخه ها بدون استفاده از مفاهیم توپولوژیک دشوار تر آن است که فکرش را بکنید . مطالعه ی علم توپولوژی به طور دقیق و آکادمیک نیاز به پیش نیازها و مطالعه ی زیادی دارد ولی بخش های بسیار مهمی از توپولوژی قسمت شهودی آن است که به نظر بنده مطالعه ی آن برای شما بسیار سود مند است .حتی چند سال پیش در این زمینه در مرحله ی اول المپیاد ریاضی کشور سوالاتی آمده بود . در زمینه ی توپولوژی شهودی منابع خوبی در اختیار ماست از جمله کتاب توپولوژی شهودی نوشته ی و.و.پراسلوف که آقای ارشک حمیدی آن را ترجمه کرده اند و انتشارات فاطمی هم ناشر آن است . همچنین سلسله مقالاتی هم تحت عنوان « آرش در سیاره تویاپ » چند سال پیش در نشریه ماهنامه ریاضیات چاپ شده که اگر بتوانید آنها را پیدا کنید منبع بسیار ارزشمندی است . . این بار شما را با نوار موبیوس آشنا می کنیم .

حتما تاکنون رویه ها و صفحه های زیادی را دیده اید ، مثل صفحه معمولی ، کره ، مخروط ، استوانه ویا رویه های پر پیچ وتاب تر . ای رویه ها شباهت ها و تفاوت هایی با هم دارند . بیشتر هدف ما هم شناختن این شباهت ها و تفاوت ها ست . مثلا یک صفحه ( مثل ورق کاغذ ) دارای پشت و رو هست ، همچنین کره ، استوانه و بقیه ی رویه هایی که از آنها نام بردیم دارای این خاصیت هستند . رویه ای که می خواهیم به شما معرفی کنیم دارای این خاصیت نیست .
یک نوار کاغذی بردارید ویک دور آن را تاب دهید و سپس دو لبه ی آن را به هم بچسبانید . اکنون شما صاحب یک نوار موبیوس هستید ! این رویه ساده و به ظاهر به درد نخور دارای یک خاصیت جالب توپولوژیک است . در واقع نوار موبیوس یک رو بیشتر ندارد . برای امتحان می توانید نوار موبیوس را رنگ کنید . می بینید که بدون برداشتن قلم همه جای آن را می توان با یک رنگ ، رنگ آمیزی کرد بر خلاف صفحه معمولی . به این گونه رویه ها را «رویه های جهت ناپذیر» می نامند . دلیل این نام گذاری را در
حال به عنوان یک آزمایش جالب نوار موبیوس تان را یک بار از روی خط سبز مشخص شده در شکل باقیچی بچینید . حال نوار موبیوس دیگری بسازید واین بار نوار جدید را در امتداد خط قرمز مشخص شده در شکل قیچی کنید . حاصل دو آزمایش را با هم مقایسه کنید .
حالا شما هم اگر می خواهید خاصیت های جالب داشته باشید سعی کنید از دو رویی پرهیز کنید و همیشه یک رو باشید !

وبلاگ رياضيات شهرستان سميرم عيد نوروز را برتمامي رياضي دوستان گرامي تبريك عرض مي كند .

شماره سوم مجله رياضي بازتاب در دبيرستان دخترانه نيرومند شهرستان سميرم منشر شد .

نمونه سوالات هندسه سال سوم رياضي   دبيرستان نيرومند شهرستان سميرم دي ماه ۸۶

مطمئناً همه‌ي شما با اعداد گويا آشنا هستيد و درباره‌ي جبر آن‌ها مطالب زيادي شنيده‌ايد، از جمله اين كه جمع هر عدد گويا با خودش، عددي گويا و يا ضرب هر عدد گويا در خودش، عددي گويا است. امّا تا به حال از خود پرسيده‌ايد كه آيا هر عدد گويا به توان خودش لزوماً عددي گويا مي‌شود؟ يقيناً اگر عدد گوياي صحيح داشته باشيم اين حكم درست است امّا اگر عدد گوياي ما غير صحيح باشد چه طور؟ براي اين منظور حكم شگفت انگيز زير را دنبال كنيد:

حالت الف) 1عدد گوياي غير صحيحي باشد.]

چون 1 نوشت كه در آن 1

عدداوّل و هستند.چون 1=(a,b) پس و در نتيجه 1=(p,a) و لذا . با توجه به(*) چون پس (1).

چون1 [تجزيه به عوامل اوّل]و در نتيجه و با توجه به (1)، موجود است كه .چون 1=(c,d) پس   .توان p در تجزيه ي اعداد به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . پس توان p در تجزيه ي اعداد  به عوامل اوّل به ترتيب عبارت هستند از: . با توجه به(*) و اين كه تجزيه به عوامل اوّل يكتاست، نتيجه مي‌شود كه: بنابراين:                  

از طرفي با توجه به اين كه نتيجه مي‌شود كه . از دو رابطه ي اخير نتيجه مي‌شود: . (2)
اكنون توجه شما را به لم زير جلب مي‌كنيم:
لم: اگر p عددي اوّل و  دلخواه باشد آن‌گاه  .
اثبات لم: با استقراء‌ بر m . [جزئيات به عهده‌ي خواننده].

چون رابطه ي (2) و لم فوق با هم در تناقض هستند پس حالت الف) اتفاق نمي‌افتد.

حالت ب) 1=d .با مروري بر قسمت قبل، مي‌توان دريافت كه اين حالت نيز اتفاق نمي‌افتد.[به (*) توجه كنيد ].

اين بحث نشان مي‌دهد كه گنگ است و به اين ترتيب اين حكم شگفت انگيز اثبات مي‌شود